Antworten - Echos Rätsel der Woche

[Echo]

Juchuu, die Rätsel für dieses Wochenende sind da! (Klick)
Mit einem Rätsel der Schwierigkeit "Prinz" und einem wirklich den Kopf verknotenden Problem für Anwärter der Rätsel-Rietgraskrone sind nun auch alle Schwierigkeitsgrade "in Farbe" da!

Danke an Towa und BBB für die Einsendungen

Viel Spaß beim Knobeln und ein schönes Wochenende wünscht
Lost In The Echo

[Brogg]

Der smily (3)ist das Lösungswort.

[Butterbrotbär]

Ich habe einen anderen Tipp
:Twisted:
:sHock:
:Oops:
:mRgreen:
:Arrow:
:loL:
:iDea:

[TroII]

5-10 Minuten? Beim Thorald-Rätsel hat sich direkt meine erste Vermutung bewahrheitet: Das Lösungswort lautet Thorald, entsprechend der soundso-vielten Buchstaben im Smilie.

Nur, welcher Smilie passt nicht? Evtl. das " ", weil es nicht Teil der Lösung ist. Ansonsten bin ich in Anbetracht des Lösungswortes für: " "


Und jetzt zum Königsrätsel! Wie lange ich dafür brauchte weiß ich beim besten Willen nicht, weil das "Über-die-Antwort-Nachdenken" teilweise im Bett geschah und ich eigentlich erst jetzt, wo ich die Antwort in meinem Kopf schon habe, wieder hier hereinschaue und sie ausformuliere. (Das allein hat aber länger als die angegebene untere Schranke von 45 Minuten gedauert.)

Wir ignorieren für den Anfang den notorisch nervigen Nordskral und überlegen uns, wie viele der übrigen Skrale wir wohl bräuchten, um Thorald zu finden.
Selbst wenn man weiß, ob man gefügigige oder rebellische Skrale vor sich hat und was jetzt Koh und Gra ist, lässt sich mit einer Ja-Nein-Frage im Allgemeinen natürlich nicht der richtige von drei Orten auswählen. (Weil es nur zwei Antwortoptionen, aber drei Möglichkeiten gibt.)
Zwei Fragen für den Aufenthaltsort sind also zwingend vonnöten, die hingegen reichen auch, wenn man z.B. fragt: "Ist Prinz Thorald in der Skralfestung?" und "Ist Prinz Thorald am Skralberg?"
Der naive Ansatz wäre jetzt, erst mal herauszufinden, was Koh und Gra sind, anschließend die Skrale zu sortieren und dann noch mit diesen zwei einfachen Fragen den Prinzen zu finden - mit genug Skralen möglich, und definitiv nicht der schnellste Weg.
Stattdessen versuchen wir mal, mit den zwei Fragen, die wir zwingend brauchen, hinzukommen. Das heißt, dass beide Antworten bereits einen Ort ausschließen/bestätigen müssen, wir können also keine Fragen auf die Worte Koh/Gra oder die Gefügigkeit/Rebelligkeit der Skrale verwenden und müssen diese Schwierigkeiten geschickt umgehen.
- Koh/Gra:
Wir wollen die Antwort auf eine Frage kennen, ohne die Bedeutung der beiden Worte herausfinden zu müssen. Wir betrachten dazu einfach mal exemplarisch den Aufbau einer Frage: Wenn sie nicht gerade paradox o.Ä. ist, fragen wir nach der Wahrheit einer Aussage, also z.B. "Ist 1+1=2?" und "Ist 1+1=3?"
Wir stellen fest, genausogut könnten wir fragen:
"Lautet die Antwort auf "Ist 1+1=x?" ja?"
Die ehrliche Antwort ist ja für x=2 und nein für x=3.
Und wenn wir stattdessen Fragen:
"Lautet die Antwort auf "Ist 1+1=x?" nein?"
Dann erhalten wir nein für x=2 und ja für x=3.
In beiden Fällen gilt also: Wenn die eingesetzte Aussage wahr ist, dann ist die Antwort genau das Wort, von dem wir fragen, ob es die Antwort ist, und wenn die Aussage falsch ist, genau das jeweils andere. Das heißt:
"Lautet die Antwort auf "Ist 1+1=x" Gra?"
hat als ehrliche Antwort Gra für x=2 und Koh für x=3, egal was Gra und was Koh ist.
Wenn wir einen gefügigen Skral vor uns hätten, würde es also reichen, zu Fragen:
"Lautet die Antwort auf "Ist Prinz Thorald in der Skralfestung?" Gra?", analog für den Skralberg. Kommt ein Gra, geht man zum entsprechenden Ort, kommt keines muss es der Tempel sein. Jetzt zur zweiten Schwierigkeit:

- Gefügigkeit/Rebelligkeit:
Wenn uns zwei Fragen reichen wollen, müssen wir die richtige Antwort herausfinden können, egal ob wir einen gefügigen oder rebellischen Skral vor uns haben. Das heißt, wir müssen die Frage irgendwie so stellen, dass die Antwort in beiden Fällen die gleiche ist.
Der Trick ist hier, die Unterschiede der Skrale in die Frage einzubauen, sodass sie sich gegenseitig aufheben.
Eine Möglichkeit wäre eine Frage der Form: "Was würde der jeweils andere Skraltyp antworten...", da hier ein gefügiger Skral ehrlich die Lüge des rebellischen wiedergibt, während eine rebellischer über die Wahrheit des gefügigen lügt - in beiden Fällen wird die Antwort genau einmal umgedreht.
Weil es aber schöner ist, wenn die Antworten gleich bleiben, stellen wir unsere Frage lieber etwas anders: "Was würdest du antworten..."
Faszinierenderweise klingt es exakt gleich, ob ich jetzt frage:
"Was würdest du auf die Frage antworten, ob 1+1=2 ist?"
oder
"Ist 1+1=2?"
Es scheint, als würde das eine nur eine Einschätzung statt eines Fakts erfragen. Und für den gefügigen Skral lautet die Antwort auf beide Fragen ja tatsächlich gleich.
Interessanterweise gilt das nicht für den rebellischen Skral, auf die Frage: "Ist 1+1=2?" antwortet er natürlich nein, und das wiederum bedeutet, dass er auf die Frage:
"Was würdest du auf die Frage antworten, ob 1+1=2 ist?" oder anders ausgedrückt "Was würdest du antworten, wenn ich dich frage: "Ist 1+1=2?"" darüber lügt, dass er nein sagen würde, und dadurch tatsächlich wieder ja sagt!

Kombinieren wir diese beiden Ansätze ergeben sich die beiden Fragen:
"Würdest du auf die Frage: "Ist der Prinz an der Skralfestung?" mit Gra antworten?"
"Würdest du auf die Frage: "Ist der Prinz am Skralberg?" mit Gra antworten?"
Und zum Gra kann man gehen, bzw. wenn kein Gra kommt ist es der Tempel.
Zwei Skrale würden also tatsächlich reichen - wenn man den Nordskral vernachlässigt...

- Nordskral:
Wir haben ein Verfahren, um von allen Nicht-Nordskralen eine eindeutige Antwort zu erhalten. (Auch wenn wir dabei nicht erfahren, welche Art Skral wir vor uns haben und ob Gra jetzt ja oder nein bedeutet...) Grundsätzlich gilt damit: Wenn zwei Skrale in ihrer Antwort übereinstimmen, ist auf diese Antwort Verlass, da ja höchstens einer zufällig antwortet.
Jetzt die Frage: Wie viele Skrale brauchen wir, wenn einer vielleicht ein Nordskral ist?
Offensichtlich brauchen wir mindestens 2 andorische Skrale, d.h. mindestens 3 Skrale insgesamt. Tatsächlich scheint es aber so zu sein, dass sich weder mit einem Nordskral und zwei andorischen noch mit einem Nordskral und drei andorischen Skralen die Lösung eindeutig ermitteln lässt. (Ich betrachte den Fall mit drei Südskralen, wenn es damit nicht geht, dann erst recht nicht mit einem weniger.) Wir können mit jeder Frage von höchstens einem Ort und höchstens einem Skral eindeutig bestätigen oder verneinen lassen, dass er richtig ist. Wir haben also drei richtige und eine zufällige Antwort, um einen von drei Orten zu bestimmen.
Wir können nicht jede Antwort, die nur einen der drei Orte ausschließt, überprüfen, weil für eine eindeutige Prüfung bis zu drei Skrale notwendig sein können. Wenn die ersten beiden Antworten sich widersprechen, dann sind die anderen beiden auf jeden Fall andorische Skrale und wie oben gesehen können wir die Lösung ermitteln. Wenn die ersten drei Fragen jeweils einen Ort ausschließen/bestätigen und sich nicht widersprechen (z.B. indem wir einmal nach jedem Ort fragen) genügt uns das schon, denn falls wir dann den Nordskral erwischt haben, muss er trotzdem die Wahrheit gesagt haben. Wenn jedoch ausgerechnet die dritte Frage erst offenbart, dass eine der ersten drei Antworten falsch war (z.B. indem alle drei zu ihrem Ort Koh sagen) hätten wir nur noch einen einen (sicher andorischen) Skral, um eine von drei Möglichkeiten auszwählen, was nicht reicht.
Das alles deutet darauf hin, dass eine eindeutige Lösung mit nur drei oder vier Skralen nicht möglich ist. Nichtsdestotrotz sehe ich gerade keinen wasserdichten Beweis dafür. In Anbetracht dessen, dass zwei andorische Skrale grundsätzlich für eine Antwort ausreichen, kann ich so pauschal nicht ausschließen, dass es irgendeine Möglichkeit mit einem zusätzlichen Nordskral gibt, an die ich gerade nicht denke. (Die könnte ja potentiell beliebig kompliziert werden, z.B. "Würdest du mit Gra auf die Frage antworten: Ist entweder Thorald am Skralberg oder ein Nordskral unter uns UND ist Rietgras gelb?")
Hast du hier einen Unmöglichkeitsbeweis, BBB? (Oder eine Möglichkeit gefunden?)

Betrachten wir jetzt jedenfalls den Fall mit fünf Skralen, hier ist die Lösung ziemlich direkt.
Wir können z.B.einfach damit anfangen, als erstes nach je einem Ort zu fragen:
1. "Würdest du auf die Frage: "Ist der Prinz an der Skralfestung?" mit Gra antworten?"
2. "Würdest du auf die Frage: "Ist der Prinz am Skralberg?" mit Gra antworten?"
3. "Würdest du auf die Frage: "Ist der Prinz am Dunklen Tempel?" mit Gra antworten?"
1. Fall: Die Antworten widersprechen sich. (Also entweder kein Gra oder zwei Gras.) Dann war der Nordskral dabei und auf die beiden übrigen Skrale können wir uns verlassen. Also Fragen 1 und 2 wiederholen und zum Gra gehen (bzw. zum Tempel, falls beide Koh sagen).
2. Fall: Die Antworten stimmen überein. (Also genau ein Gra.) Falls ein andorischer Skral das Gra gesagt hat, ist der Prinz tatsächlich an diesem Ort. Falls der Nordskral das Gra gesagt hat, kommen die beiden Kohs von andorischen Skralen, d.h. der Prinz ist nicht an den Orten, wo das Koh herkam, und muss daher ebenfalls beim Gra sein. Der Ort, wo das Gra herkam, ist also richtig, und die beiden übrigen Skrale können wir fragen, ob ihnen Menschen- oder Zwergenfleisch besser schmeckt und ob sie an Mutter Natur glauben.

Es geht also mit dieser Anzahl an Skralen und diesen Fragen - dass es aber nicht auch mit (mind.) einem weniger geht, kann ich leider nicht komplett ausschließen...


Gruß, Troll

[Butterbrotbär]

Tolle Überlegungen, Troll! Beeindruckend, wie du direkt am naiven Ansatz vorbeigezogen bist. Brilliantes Umgehen der Koh/Gra- und Gefügigkeit/Rebelligkeit-Schwierigkeiten!

Ich befinde mich momentan in einer ganz ähnlichen Situation wie du: Ich habe eine Lösung, von der ich vermute, dass sie eine optimale ist, ohne aber einen wasserdichten Beweis dafür zu haben.

Unter deinen Annahmen würde ich dir komplett zustimmen und ebenfalls vermuten, dass fünf Skrale vonnöten sind (und mit ein bisschen Taktik-Optimierung im schlimmsten Fall vier Fragen).

Allerdings glaube ich, dass sich in deiner Einleitung noch eine falsche Annahme versteckt. Soll ich sagen, wo?

Gespannte Grüße
BBB

[TroII]

Also, eine Ungenauigkeit in den Anfangsüberlegungen habe ich gefunden:
Zwei SKRALE sind zwingend vonnöten, bei Antworten kann natürlich schon eine reichen...

Aber das würde nichts am Ergebnis ändern, und nachdem du so hartnäckig betonst, dass du mir "unter meinen Annahmen" zustimmst, habe ich das Gefühl, etwas wesentlich Wesentlicheres zu übersehen...
Im Übrigen habe ich nirgendwo benutzt, dass es mindestens einen rebellischen Skral gibt...

Ich sehe das aber richtig, dass die Skrale (auch die gefügigen) erst antworten, wenn man sie zu Reka geschleppt hat?

Und eine genaue Inspektion der Aufgabenstellung ergab noch, dass ich auch die Anzahl meiner gestellten Fragen minimieren muss... Und da habe ich sogar einen Algorithmus gefunden, der sicher mit drei Fragen auskommt! (Leider benötigt der aber trotzdem 5 Skrale...)
Und zwar kann man erst Skral A beiseitenehmen und ihn fragen:
"Würdest du auf die Frage: "Ist Skral B oder Skral C ein Nordskral?" mit Gra antworten?"
Und wenn ein Gra kommt, war A entweder selbst der Nordskral oder B oder C ist es, also kann man mit D und E in bis zu zwei weiteren Fragen die Lösung finden. Kommt hingegen ein Koh, dann war A entweder der Nordskral (und B und C sind es nicht) oder A war ein andorischer Skral, dann sagt die Antwort, dass das auch für B und C gilt, man kann also mit B und C in bis zu zwei weiteren Fragen den Prinzen finden.

Wie gesagt brauche ich dafür aber immer noch 5 Skrale, damit ich sie in zwei Zweiergruppen aufteilen kann...

Also, den grundsätzlicheren Fehler, den ich scheinbar gemacht habe, finde ich noch nicht...

Gruß, Troll

PS: Was antwortet ein gefügiger Skral auf: "Ist deine Antwort ja?" Ist kein Paradoxon, nur immer erfüllt!

[Butterbrotbär]

Ich sehe das aber richtig, dass die Skrale (auch die gefügigen) erst antworten, wenn man sie zu Reka geschleppt hat?

Komplett richtig!

Du hast natürlich recht, fünf Skrale und drei Fragen reichen vollkommen aus. Cool!

Sorry, ich hatte mich nicht ganz verständlich ausgedrückt. Ich wollte darauf andeuten, dass ich mit folgender Aussage nicht ganz einverstanden bin:

Selbst wenn man weiß, ob man gefügigige oder rebellische Skrale vor sich hat und was jetzt Koh und Gra ist, lässt sich mit einer Ja-Nein-Frage im Allgemeinen natürlich nicht der richtige von drei Orten auswählen. (Weil es nur zwei Antwortoptionen, aber drei Möglichkeiten gibt.)

LG BBB

PS: Spannend! Aber auweia, eine solche Frage hatte ich nicht bedacht.
Durch die gegebene Rätselformulierung ist mMn kein eindeutiges Verhalten des Skrals vorgegeben. Explizit heißt es ja "Jeder gefügige andorische Skral wird die Wahrheit sagen, also die ihm gestellte Ja/Nein-Frage richtig beantworten. Versteht ein andorischer Skral die ihm gestellte Ja/Nein-Frage zwar, kann sie aber nicht beantworten (z.B. weil er die Antwort nicht weiß oder weil jede Antwort ein Paradoxon auslösen würde), so bleibt er stumm".
Man könnte dies auf mindestens zwei Arten interpretieren:
1. Ein gefügiger andorischer Skral gibt eine richtige Antwort, wenn er kann. Er bleibt stumm, wenn er keine richtige Antwort geben kann. Dann würde der Skral auf diese spezifische Frage zufällig mit Ja oder Nein antworten.
2. Ein gefügiger andorsicher Skral gibt die richtige Antwort, wenn er kann. Er bleibt stumm, wenn er keine eindeutige richtige Antwort geben kann. Dann bliebe der Skral bei dieser spezifischen Frage stumm.
Ich persönlich würde eher zur ersten Interpretation tendieren, will die andere aber nicht invalidieren.

[TroII]

Ahh, ich hab´s!

Genial!

Du hast natürlich recht, BBB, ich habe in der Tat etwas übersehen!
Wir haben drei Antwortmöglichkeiten: Koh, Gra und stumm!

Wir brauchen also eine Ja-Nein-Frage, mit der der erste Ort mit Ja, der zweite mit Nein und der dritte gar nicht beantwortet wird, also nehmen wir:
"Ist Thorald in der Skralfestung ODER ist Thorald am Skralberg und lautet die richtige Antwort nein?"
Wenn Thorald in der Festung ist, ist der erste Teilsatz erfüllt und die Antwort lautet "Ja!"
Wenn Thorald im Tempel ist, ist er weder in der Festung noch am Berg, d.h. beide Teilsätze sind falsch und die Antwort lautet "Nein!".
Wenn Thorald am Skralberg ist, ist der Teil vor dem order falsch und der dahinter - ist falsch, wenn mit "Ja!" geantwortet wird (also geht "Ja" nicht) und richtig, wenn mit "Nein!" geantwortet wird (also geht "Nein" auch nicht).

Das heißt, unter Vernachlässigung des Nordskrals genügt ein Skral, dem man die Frage stellt:
"Würdet du auf die Frage "Ist Thorald in der Skralfestung ODER ist Thorald am Skralberg und lautet die richtige Antwort die Entsprechung von "Nein"?" mit "Gra" antworten?"
Bei Gra geht man zur Skralfestung, bei Koh zum Tempel und wenn keine Antwort kommt zum Skralberg!

So, und jetzt noch der Nordskral:
Bei zwei Skralen sehe ich spontan keine Möglichkeit, eindeutig zu entscheiden, welcher Skral Nordskral ist und die richtige Antwort zu finden... Ich nehme an, das ist der Punkt, wo auch dir der wasserdichte Unmöglichkeits-Beweis fehlt. Ich denke aber, der könnte sogar möglich sein, lass es mich versuchen...
Ein Skral hat nur 3 Antwortmöglichkeiten (Nordskral nur zwei). Falls der zweite Skral der Nordskral ist, kann er uns nur eine einzige zuverlässige Information liefern, nämlich ob er ein Nordskral ist. (Indem wir ein Paradoxon fragen.)
Daher muss die Antwort des ersten Skrals bereits 100% eindeutig auf den richtigen Ort hinweisen - ob der zweite Skral Nordskral ist, darf aber in der Frage auftauchen...
Das heißt, die Frage muss drei verschiedene Antworten für die drei verschiedenen Orte zulassen, es ist aber möglich, sie so zu stellen, dass Ja und Nein davon abhängen, ob der zweite Skral ein Nordskral ist. Damit haben wir für die erste Frage nur zwei Möglichkeiten (bis auf Vertauschung der Orte), nämlich:
1. die Frage oben
2. die Frage oben, wobei Koh/Gra vertauscht (oder nur dann nicht vertauscht) wird, falls der zweite Skral Nordskral ist.
Egal, welche Frage wir nehmen: Wenn die Antwort nicht "stumm" ist, müssen wir mit der zweiten Frage herausfinden, ob die Antwort des ersten Skrals stimmte, und falls sie das nicht tat müssen wir herausfinden, welcher Ort es dann ist. Wir können keinen Ort ausschließen, d.h. für die zweite Frage müssen wir wieder eine Frage mit diesen drei Antwortmöglichkeiten stellen. Das heißt, wir haben auch für die zweite Frage nur diese beiden Möglichkeiten. (Allerdings jetzt noch mit Vertauschung der Orte, falls das relevant wird.) War die Argumentation bis hierhin wasserdicht? Der Rest ist nämlich klar: Wir haben nur noch endlich viele Möglichkeiten, unsere Fragen zu stellen! Für die erste Frage haben wir nur zwei Möglichkeiten (da die Reihenfolge der Orte hier noch keine Rolle spielt) und für die zweite haben wir für jede nicht-stumm-Antwort (sonst wären wir schon fertig) jeweils zwölf Möglichkeiten (Frage 1 oder 2 und die 6 Permutationen der Orte). Wenn man die alle einzeln überprüft, findet man entweder einen sicheren Weg, mit zwei Skralen auszukommen, oder kann alle Möglichkeiten ausschließen.
(Und ganz klassisch Mathematiker reicht es mir an dieser Stelle, die Lösbarkeit des Problems gezeigt zu haben. Irgendwann in der Woche, wenn ich mehr Zeit habe, überprüfe ich noch, ob es eine 2-Skral-Möglichkeit gibt, es sei denn du kommst mir zuvor, BBB. )

Weil ich gerade vermute, das keine dieser Lösungen zum Ziel führt und wir dementsprechend mit drei Skralen auskommen müssen, hier noch die Lösung mit drei Skralen, die ist wieder relativ analog zu meiner letzten Lösung mit 5 Skralen und kommt sicher mit zwei Fragen aus:
Erst Skral A fragen:
1. "Würdest du auf die Frage: "Ist Skral B ein Nordskral?" mit Gra antworten?"
Wenn ein Gra kommt, ist höchstens A oder B der Nordskral und wir fragen C:
2. "Würdet du auf die Frage "Ist Thorald in der Skralfestung ODER ist Thorald am Skralberg und lautet die richtige Antwort die Entsprechung von "Nein"?" mit "Gra" antworten?"
Wenn auf 1. hingegen ein Koh kommt, ist höchstens A oder C der Nordskral und wir fragen die Frage 2. stattdessen B.

Direkt nach den Orten zu fragen kann dazu führen, dass wir schon mit einer Antwort auskommen (wenn direkt stumm kommt) aber kann auch bedeuten, dass wir alle drei brauchen - falls "möglichst wenige Fragen" sich auf die maximale Fragenzahl bezieht, ist (unter anderem) die obige Strategie optimal, falls es um den Erwartungswert geht, müsste man jetzt noch die Wahrscheinlichkeiten durchrechnen... Ich gehe aber mal von der ersten Deutung aus und sende damit diese Lösung ein!

Gruß, Troll

[Butterbrotbär]

Grandios, Troll! Jetzt bist du auf demselben Stand wie ich, bzw. sogar etwas weiter, was den Weg zur Eindeutigkeit der Lösung angeht.
Maximale Fragenanzahl war gemeint, aber wenn du Wahrscheinlichkeiten ausrechnen willst, stehe ich dir natürlich nicht im Wege.



Deine Aufzählung der Möglichkeiten klingt überzeugend. Deine Eingrenzung auf zwei mögliche erste Fragen reicht vielleicht schon aus, um einen Unmöglichkeitsbeweis zu formulieren:

Existiert eine Zwei-Skral-Taktik, so können wir durch sie Thoralds Aufenthaltsort eindeutig bestimmen. Lautet die Antwort auf ihre erste Frage Ja oder Nein, so könnte der Nordskral sowohl der erste als auch der zweite Skral sein. Da der Nordskral der erste Skral sein könnte, müssen die drei möglichen Antworten auf ihre zweite Frage alle zu verschiedenen Aufenthaltsort-Tipps führen. Da der Nordskral der zweite Skral sein könnte, müssen die Antworten Ja und Nein auf ihre zweite Frage zum selben Aufenthaltsort-Tipp führen. Per Widerspruch kann es keine Zwei-Skral-Taktik geben.

Haut das hin?



LG BBB

[TroII]

Haut das hin?

Knapp gehalten, aber sollte stimmen.