Epaminaidos hat geschrieben:Super! Noch mehr Verrückte - im besten Sinne
Vielleicht hat ja einer von Euch Lust, eine elegante Lösung für ein Rätsel zu finden, das mich schon seit einigen Wochen umtreibt.
Die Basis ist die Prinzessin im See:
http://www.spiegel.de/wissenschaft/mens ... 54639.htmlDie Frage lautet aber nicht: "Wie entkommt die Prinzessin?", sondern:
"Wie schnell darf die Hexe höchstens sein, damit die Prinzessin gerade so entkommen kann und wie muss die Prinzessin dafür schwimmen?"
Eine numerische Lösung habe ich inzwischen. Allerdings sagt mir meine Intuition, dass es auch eine elegante Lösung geben müsste: Das ganze Rätsel spielt im Einheitskreis und alle beteiligten Strecken sind entweder der Radius oder rechtwinklig. Es will mir aber einfach nicht gelingen
Also ich hab folgende Lösung:
Erstmal meine Annahmen:
1) Die Hexe (H) versucht immer an dem Punkt des Ufers zu sein, der am nähesten zur Prinzessin (P) ist.
2) P versucht zu jedem Zeitpunkt, dass es eine Gerade gibt, sodass P, H und der Teich-Mittelpunkt auf ihr liegen (und natürlich M zwischen H und P)
3) Die Hexe läuft immer im Kreis (sollte sie die Richtung ändern, so können wir den nachfolgenden Weg der Hexe und der Prinzessin an der Achse aus 2) spiegeln und schon läuft die Hexe wieder im Kreis.) Also O.b.d.A. H läuft im Kreis.
Aus 3 ergibt sich eine Bewegungsformel für die Hexe:
H(t) = [cos(4t) , sin(4t) ]
Somit gilt:
H'(t) = 4* [-sin(4t), cos(4t)], also |H'| = 4 für alle t (also geschwindigkeit 4)
Was muss für P(t) gelten:
P(t) = f(t) * H(t)
f ist hierbei die "Abstandsfunktion" von P zum Mittelpunkt und muss am Anfang gleich null sein:
f(0) = 0
Mit dieser Darstellung von P haben wir auch die Bedingung 2) erfüllt.
f muss nun so gewählt werden, dass |P'| = 1 ist:
P' = f(t) H' + f'*H
1= (P')²
= f(t)² * <H',H'> + 2f*f' *<H,H'> + (f')² <H,H>
= 16 f² + (f')²
Wir müssen also eine Funktion finden, die diese (leider nichtlineare) Differentialgleichung löst mit dem Randwert: f(0)=0
Da gibt es insbesondere
f(t) = 1/4 sin(4t)
Unser Schwimmweg für die Prinzessen lautet also:
P(t) = 1/4 sin(4t) * (-H(t))
Das Problem nun: So kommt P nie an den Rand! (Da |P| = 1/4 |sin(4t)| ist). Aber wir haben einen Abstand von 0,25 zum Mittelpunkt erreicht (zumindest zum Zeitpunkt t= pi/8, da sin(pi/2) = 1)
Ab diesem Zeitpunkt können wir also unser ziel "Hexe ist am Gegenüberliegendem Ufer" nicht mehr verbessern und müssen nun direkt (?) zum Ufer schwimmen. Dafür benötigen wir die Zeit 3/4. Die Hexe braucht aber Pi/4 > 3/4 um dort hinzu kommen und wir haben gewonnen.
Da ab dem Punkt, an dem wir den Kreis mit r=1/4 erreicht haben, die Winkelgeschwindikeiten von Hexe und Prinzessen übereinstimmen, ist der direkte Weg zum Ufer der Beste. (Sonst würden wir ja eine Kreisbewegung hinzufügen und auf der können wir nicht gewinnen)
Fassen wir zusammen:
Es ist möglich, dass wir den Kreis mit r=1/4 erreichen während die Hexe am "falschen Ende" ist.
Um nun deine Frage nach der Maximalen geschwindikeit für die Hexe zu bestimmen, müssen wir die Vieren durch x ersetzen und erhalten, dass wir einen Kreis mit Radius 1/x erreichen können, wenn die Hexe die x-Fache Geschwindikeit von uns hat.
Nun muss also 1-1/x (Abstand Prinzessen, nächstes Ufer) kleiner sein als pi/x:
1-1/x < pi/x
x-1 < pi
x < pi+1
Das heißt: solange die Geschwindigkeit der Hexe kleiner als das (1+pi)-Fache der Prinzessin ist, hat die Prinzessin eine chance. Ab dem (1+pi)-Fache gewinnt die Hexe.
Die Frage "Wie schnell darf die Hexe höchstens sein" hat somit übrigens keine Exakte Antwort! Es ist halt das offene Intervall [0,1+pi[, welches kein Extremum hat