Würfelwahrscheinlichkeiten

[Epaminaidos]

Hm, jetzt wo ich das gelesen hab, ist mir auch sofort ein besserer Weg als der direkte eingefallen: P schwimmt "ein kleines Stück" (nenn ich jetzt s) auf dem direkten Weg um dann auf den Punkt hinzuschwimmen, der genau gegenüber von der Hexe in dem Moment ist, in dem das Ende von s erreicht wurde.

Es geht noch besser

[Micha]

Ok, dann geb ich auch mal meinen Senf dazu, obwohl die Auflösung doch gleich auch der nächsten Seite war?!
Einfach ausgedrückt, die Prinzessin (P) schwimmt immer genau von der Hexe (H) weg. Je weiter sie nach außen kommt, umso mehr ihrer Geschwindigkeit geht unter dieser Prämisse für die tangentiale Komponente drauf, und das geht logischerweise nur bis zu einem Viertel des Teichradius (R/4).
R*Theta'=4*sqrt(r'²+r²Theta'²) =>
R²*Theta'²/16=r'²+r²Theta'² =>
(R²-16r²)/16*Theta'²=r'² =>
sqrt(R²-16r²)/4=r'/Theta'
Danach wird der Inhalt der Wurzel komplex, und die radiale Schwimmkomponente zu Null.
Aber die verbleibende Stecke 3/4*R wird in kürzerer Zeit zurück gelegt, als der halbe Umfang bei vierfacher Geschwindigkeit Pi*R/4.

Irgendwie so...

P.S.: Wie wäre es, wenn wir es etwas verkomplizieren: Was ist der maximale Abstand (Weg) zur Hexe, mit dem die Prinzessin aus dem Wasser steigen kann? Leuler hat ja da schon mal angefangen hin zu rechnen. Das gibt gestimmt eine DGL für die Prinzessinen-Trajektorie.

[Epaminaidos]

Ok, dann geb ich auch mal meinen Senf dazu, obwohl die Auflösung doch gleich auch der nächsten Seite war?!

*g*
Aufgabe lösen: sehr gut
Aufgabe lesen: So mittelprächtig

Die Frage lautet aber nicht: "Wie entkommt die Prinzessin?", sondern:
"Wie schnell darf die Hexe höchstens sein, damit die Prinzessin gerade so entkommen kann und wie muss die Prinzessin dafür schwimmen?"

Die Suche nach einem möglichst großen Abstand beim Ankommen am Ufer ist da ein sehr hilfreicher Zwischenschritt.

[Micha]

Aufgabe lösen: sehr gut
Aufgabe lesen: So mittelprächtig

Hmm, na gut.
Also jedenfalls kann gezeigt werden, dass die Prinzessin auf einer zunehmend logarithmischen Spirale nach außen schwimmend, sich immer genau gegenüber der Hexe halten kann, bis sie einen Teilradius erreicht, der sich berechnet nach:
rG = R * vP / vH
wobei:
rG: Radius, bis zu welchem sie sich noch gegenüber halten kann; R: Teichradius; vP: Geschwindigkeit Prinzessin; vH: Geschwindigkeit Hexe
Sind wir uns soweit einig? Wenn ja, dann ist das unsere Ausgangsposition, die Überwindung des restlichen Radius R*(1-vP/vH), wobei sich die Hexe immer noch gegenüber befindet.

Von da ab ändert sich das Optimierungskriterium, indem die Hexe nicht mehr gegenüber gehalten wird, sondern dahingehend, in welchem Maße sich das Hinzufügen einer tangentialen Schwimmkomponente noch lohnt. Also ob sie mehr Zeit dazugewinnt, indem sie die Wegstrecke der Hexe verlängert, als sie dabei verliert. Je weiter raus die Prinzessin kommt, um so weniger trifft das zu. So... und jetzt... muss ich rechnen.

[Leuler]

Bis zu dem "kritischen Kreis" sind wir uns wohl alle einig

Danach wird es halt kompliziert. Wie schon gesagt: Es ist ein Variations-Problem, welches nicht wirklich einfach ist... Wir haben das vorhin mal kurz an der Tafel formuliert und ohne Bild ist es nichtmal vernünfitig zu beschreiben.
So ein ähnliches Problem haben wir mal in unserer Theo-Physik-Vorlesung berechnet, aber das ist schon was her^^ Und es hatte auch nicht so viele Nebenbedingungen, wie dieses hier...

Aber vielen Dank für dieses Problem - Da haben wir doch wieder ein Gesprächsthema für das morgige Mittagessen mit Chef und Kollegen gefunden^^

Und wenn tatsächlich jemand eine nicht-numerische Lösung dafür findet, darf er sich gerne per PN melden

Gruß
Leuler

[Epaminaidos]

Und wenn tatsächlich jemand eine nicht-numerische Lösung dafür findet, darf er sich gerne per PN melden

CC an mich bitte
Falls ich noch anstacheln soll: in einem anderen Forum haben wir das mal diskutiert. Und da war einer, der sehr glaubwürdig beschrieben hat, dass er vor Jahren mal eine elegante Lösung gefunden hatte und mächtig stolz darauf war. Aber er könne sich nicht mehr genau an den Lösungsweg erinnern. Also zumindest mich wurmt das seit dem noch etwas mehr.
Guten Hunger morgen

[Tassilo]

Und wenn tatsächlich jemand eine nicht-numerische Lösung dafür findet, darf er sich gerne per PN melden

CC an mich bitte
Falls ich noch anstacheln soll: in einem anderen Forum haben wir das mal diskutiert. Und da war einer, der sehr glaubwürdig beschrieben hat, dass er vor Jahren mal eine elegante Lösung gefunden hatte und mächtig stolz darauf war. Aber er könne sich nicht mehr genau an den Lösungsweg erinnern. Also zumindest mich wurmt das seit dem noch etwas mehr.
Guten Hunger morgen

"Cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."

[Micha]

Könnte es das 4,5645fache sein? Wenn nicht, hab ich mich verrechnet, und das war dann mein erster und einziger Versuch.

Mein Ansatz war folgender:
wenn P eine tangentiale Schwimmkomponente hinzufügt, verlangsamt sich ihre radiale Geschwindigkeit im Verhältnis. Das hab ich in eine Gleichung gegossen.
Dann hab ich eine Gleichung aufgestellt, wie sich durch diese tangentiale Komponente die relative(!) Geschwindigkeit der Hexe verlangsamt, da sich ja dadurch der Zielpunkt mit einer entsprechenden Winkelgeschwindigkeit von ihr wegbewegt.
Von beiden Gleichungen habe ich den Quotienten gebildet (v,P,rad(dtheta)/v,H(dtheta)), und nach dtheta differenziert, und die Nullstelle der Ableitung gesucht (hoffentlich war's ein Maximum). Sah dann so aus:
dr/dtheta = r²Y/R
dr: radiale Schwimmkomponente
dtheta: tangentiale Schwimmkomponente
r: Radius im Teich auf welchem P ist
Y: Speed Hexe / Speed Prinzessin
R: Teichradius

Nach dieser Formel habe ich aufintegriert, welcher Gesamtwinkel zurückgelegt wird, und berechnet, welche Rennstrecke von H daraus resultiert. Und ich habe aufintegriert, welche Gesamtstrecke P schwimmen muss. Die Rennstrecke muss das Y-fache der Schwimmstrecke sein. Beide Strecken waren eine Funktion von Y und ich musste die Nullstelle finden, was ich nicht mehr analytisch konnte (Matlab). Auch eine Stammfunktion hab ich mir im Internet berechnen lassen.
2(pi+1+sqrt(2)-1/Y-sqrt(y²+1))-ln((sqrt(y²+1)-1)/(sqrt(y²+1)+1)*(sqrt(2)+1)/(sqrt(2)-1))=0

Grüße
Micha

P.S.: Sagt mal, sieht die Prinzessin im Teich eigentlich die Hexe nicht kommen? Das würde nämlich das ganze Problem verändern...

[Epaminaidos]

Könnte es das 4,5645fache sein?

Ist knapp 1% zu niedrig.

Sah dann so aus:
dr/dtheta = r²Y/R

Ich betrachte mal den Punkt, an dem die Prinzessin den kritischen Kreis verlässt. Da gilt r=1/vH (bei R = 1 und vP = 1 obdA). Dann gilt dr/dtheta = 1/vH. Das führt nicht zu einem optimalen Ergebnis.

P.S.: Sagt mal, sieht die Prinzessin im Teich eigentlich die Hexe nicht kommen? Das würde nämlich das ganze Problem verändern...

Ja, sie sieht die Hexe kommen. Sonst könnte sie ja nichtmal beurteilen, an welchem Punkt sie den Grenzkreis verlassen muss.

Du bist sehr "mathematisch" unterwegs. Für den optimalen Schwimmpfad braucht man außerhalb des Grenzkreises wesentlich weniger Mathe als innerhalb.
Zwei Tipps bei Bedarf:
Kleiner Tipp: http://pastebin.com/vSrmUhzc
Mittlerer Tipp: http://pastebin.com/cbUBWZWf

[Micha]

Dann vielleicht 4,6069? Das wäre, wenn sie einfach geradeaus, tangential aus dem kritischen Kreis rausschwimmt. Hatte ich vor deiner Antwort schon, das Ergebnis, und dachte mir daher, dass meine Rechnerei nicht richtig sein kann. Ich hab mir auch gedacht, dass eigentlich kein Knick drin sein darf.