Würfelwahrscheinlichkeiten

[TroII]

Kleine Frage: Wo lernt man so was? Mathe LK? Studium?

[Epaminaidos]

Kleine Frage: Wo lernt man so was? Mathe LK? Studium?

Richtig
Meine Grundlagen kommen hauptsächlich aus dem Mathe-LK. Ein paar weitere Grundlagen kamen in dem Mathekursen während dem Informatik-Studium. Der Rest ist bei mir ein allgemeines Interesse an logischen Rätseln. Gerade an Kombinatorik und Stochastik habe ich richtig Spaß

[Micha]

Richtig
Meine Grundlagen kommen hauptsächlich aus dem Mathe-LK. Ein paar weitere Grundlagen kamen in dem Mathekursen während dem Informatik-Studium. Der Rest ist bei mir ein allgemeines Interesse an logischen Rätseln. Gerade an Kombinatorik und Stochastik habe ich richtig Spaß

Dito. Mathe-LK, aber das Elektrotechnik-Studium hatte mit Wahrscheinlichkeitsrechnung eher weniger zu tun, und eigentlich hab ich die von der Schul-Mathe am wenigsten gemocht. Und ebenso allgemeines Interesse an Mathematik. Mein Mathelehrer hat mich immer verflucht, weil ich andere Lösungswege hatte, als von ihm gelehrt und erwartet. Das lag vermutlich daran, dass ich mir nie die Zeit genommen habe, nachzuschlagen, ob es schon Lösungswege gibt (siehe oben ).

[Tapta]

Obwohl ich Fahrzeugtechnik (Maschinenbau) Studiert habe, hatte ich auch keine Stochastik. Habe es mir dann selbst beigebracht, als ich Nachhilfe gegeben habe.
Finde das Thema ebenfalls sehr spannend! Und höchst interessant, vor allem weil die Andorische Realität manchmal ganz anders aussieht.

[Leuler]

P.S.: Ohne bisher die Werte zu berechnen hab ich den Paschkombinationenvektor noch bis 13 Würfel erweitert, was nochmal ca. 170 Einträge erzeugt hat. Allerdings stimmt bei den 13nern die Wahrscheinlichkeitssumme nicht mehr. Entweder ich hab da einen Fehler (z.B. eine Kombination fehlt), oder Excel rundet nicht mehr richtig (die Gesamtwahrscheinlichkeit lag bei 0,999997 oder so...).

Das wird an Excel liegen. Hab grad mal ausprobiert und meine Excle-Variante gibt mir 14 nachkommastellen und schneidet den Rest ab. Da kann dann bei über 100 Einträgen zumindest ein Fehler um -12 Größenordnungen entstehen.

Kleine Frage: Wo lernt man so was? Mathe LK? Studium?

Keine Ahnung, wo genau ich das gelernt habe^^ Aber ein Mathe-LK und ein angeschlossenes Mathe-Studium können da nicht geschadet haben
Wobei ich dazu sagen muss, dass der Kombinatorik-Teil (für mich) der einzig interessante Teil aus den (verpflichtenden) Algebra/diskrete Mathematik/Stochastik-Vorlesungen war.

[Tassilo]

Die Vorlesung "Grundlagen der Mathematik" findet im Hilbert-Raum statt.

[Epaminaidos]

Super! Noch mehr Verrückte - im besten Sinne

Vielleicht hat ja einer von Euch Lust, eine elegante Lösung für ein Rätsel zu finden, das mich schon seit einigen Wochen umtreibt.
Die Basis ist die Prinzessin im See:
http://www.spiegel.de/wissenschaft/mens ... 54639.html

Die Frage lautet aber nicht: "Wie entkommt die Prinzessin?", sondern:
"Wie schnell darf die Hexe höchstens sein, damit die Prinzessin gerade so entkommen kann und wie muss die Prinzessin dafür schwimmen?"

Eine numerische Lösung habe ich inzwischen. Allerdings sagt mir meine Intuition, dass es auch eine elegante Lösung geben müsste: Das ganze Rätsel spielt im Einheitskreis und alle beteiligten Strecken sind entweder der Radius oder rechtwinklig. Es will mir aber einfach nicht gelingen

[Leuler]

Super! Noch mehr Verrückte - im besten Sinne

Vielleicht hat ja einer von Euch Lust, eine elegante Lösung für ein Rätsel zu finden, das mich schon seit einigen Wochen umtreibt.
Die Basis ist die Prinzessin im See:
http://www.spiegel.de/wissenschaft/mens ... 54639.html

Die Frage lautet aber nicht: "Wie entkommt die Prinzessin?", sondern:
"Wie schnell darf die Hexe höchstens sein, damit die Prinzessin gerade so entkommen kann und wie muss die Prinzessin dafür schwimmen?"

Eine numerische Lösung habe ich inzwischen. Allerdings sagt mir meine Intuition, dass es auch eine elegante Lösung geben müsste: Das ganze Rätsel spielt im Einheitskreis und alle beteiligten Strecken sind entweder der Radius oder rechtwinklig. Es will mir aber einfach nicht gelingen

Also ich hab folgende Lösung:

Erstmal meine Annahmen:
1) Die Hexe (H) versucht immer an dem Punkt des Ufers zu sein, der am nähesten zur Prinzessin (P) ist.
2) P versucht zu jedem Zeitpunkt, dass es eine Gerade gibt, sodass P, H und der Teich-Mittelpunkt auf ihr liegen (und natürlich M zwischen H und P)
3) Die Hexe läuft immer im Kreis (sollte sie die Richtung ändern, so können wir den nachfolgenden Weg der Hexe und der Prinzessin an der Achse aus 2) spiegeln und schon läuft die Hexe wieder im Kreis.) Also O.b.d.A. H läuft im Kreis.

Aus 3 ergibt sich eine Bewegungsformel für die Hexe:
H(t) = [cos(4t) , sin(4t) ]
Somit gilt:
H'(t) = 4* [-sin(4t), cos(4t)], also |H'| = 4 für alle t (also geschwindigkeit 4)

Was muss für P(t) gelten:
P(t) = f(t) * H(t)
f ist hierbei die "Abstandsfunktion" von P zum Mittelpunkt und muss am Anfang gleich null sein:
f(0) = 0
Mit dieser Darstellung von P haben wir auch die Bedingung 2) erfüllt.

f muss nun so gewählt werden, dass |P'| = 1 ist:
P' = f(t) H' + f'*H

1= (P')²
= f(t)² * <H',H'> + 2f*f' *<H,H'> + (f')² <H,H>
= 16 f² + (f')²

Wir müssen also eine Funktion finden, die diese (leider nichtlineare) Differentialgleichung löst mit dem Randwert: f(0)=0
Da gibt es insbesondere
f(t) = 1/4 sin(4t)

Unser Schwimmweg für die Prinzessen lautet also:
P(t) = 1/4 sin(4t) * (-H(t))

Das Problem nun: So kommt P nie an den Rand! (Da |P| = 1/4 |sin(4t)| ist). Aber wir haben einen Abstand von 0,25 zum Mittelpunkt erreicht (zumindest zum Zeitpunkt t= pi/8, da sin(pi/2) = 1)
Ab diesem Zeitpunkt können wir also unser ziel "Hexe ist am Gegenüberliegendem Ufer" nicht mehr verbessern und müssen nun direkt (?) zum Ufer schwimmen. Dafür benötigen wir die Zeit 3/4. Die Hexe braucht aber Pi/4 > 3/4 um dort hinzu kommen und wir haben gewonnen.

Da ab dem Punkt, an dem wir den Kreis mit r=1/4 erreicht haben, die Winkelgeschwindikeiten von Hexe und Prinzessen übereinstimmen, ist der direkte Weg zum Ufer der Beste. (Sonst würden wir ja eine Kreisbewegung hinzufügen und auf der können wir nicht gewinnen)

Fassen wir zusammen:
Es ist möglich, dass wir den Kreis mit r=1/4 erreichen während die Hexe am "falschen Ende" ist.

Um nun deine Frage nach der Maximalen geschwindikeit für die Hexe zu bestimmen, müssen wir die Vieren durch x ersetzen und erhalten, dass wir einen Kreis mit Radius 1/x erreichen können, wenn die Hexe die x-Fache Geschwindikeit von uns hat.
Nun muss also 1-1/x (Abstand Prinzessen, nächstes Ufer) kleiner sein als pi/x:

1-1/x < pi/x

x-1 < pi

x < pi+1

Das heißt: solange die Geschwindigkeit der Hexe kleiner als das (1+pi)-Fache der Prinzessin ist, hat die Prinzessin eine chance. Ab dem (1+pi)-Fache gewinnt die Hexe.

Die Frage "Wie schnell darf die Hexe höchstens sein" hat somit übrigens keine Exakte Antwort! Es ist halt das offene Intervall [0,1+pi[, welches kein Extremum hat

[Epaminaidos]

Also ich hab folgende Lösung:

Wow! Wirklich eine sehr schöne Herleitung des Schwimmwegs der Prinzessin bis zum "kritischen Kreis", an dem die Winkelgeschwindigkeiten übereinstimmen!
Der Rest der Lösung stimmt natürlich auch - fast.

(...)ist der direkte Weg zum Ufer der Beste. (Sonst würden wir ja eine Kreisbewegung hinzufügen und auf der können wir nicht gewinnen)

Ich habe absolut exakt den gleichen Fehler gemacht. Sogar noch exakter als Du gerade ahnst. Ich will nicht zu viel verraten. Aber ich kann Dir sagen, dass mir irgendwann jemand den besseren Weg verraten hat und ich mich richtig geärgert habe, da nicht selber drauf gekommen zu sein.

[Leuler]

(...)ist der direkte Weg zum Ufer der Beste. (Sonst würden wir ja eine Kreisbewegung hinzufügen und auf der können wir nicht gewinnen)

Ich habe absolut exakt den gleichen Fehler gemacht. Sogar noch exakter als Du gerade ahnst. Ich will nicht zu viel verraten. Aber ich kann Dir sagen, dass mir irgendwann jemand den besseren Weg verraten hat und ich mich richtig geärgert habe, da nicht selber drauf gekommen zu sein.

Hm, jetzt wo ich das gelesen hab, ist mir auch sofort ein besserer Weg als der direkte eingefallen: P schwimmt "ein kleines Stück" (nenn ich jetzt s) auf dem direkten Weg um dann auf den Punkt hinzuschwimmen, der genau gegenüber von der Hexe in dem Moment ist, in dem das Ende von s erreicht wurde.
Aber selbst hier würde eine Extremumsberechnung (zunächst die Maximalgeschwindigkeit x in abhängigkeit von s berechnen und dann das Maximum über s bilden) nicht das beste Ergebniss bringen, da man dies ja beliebig oft mit beliebig kleinen Schritten s machen kann.
Hier müsste man also mit Verfahren aus der Variations-Rechnung dran gehen. Aber das ist leider nicht mein Fachgebiet.

Und das ausrechnen von Hand ist generell sehr blöd. Hab bei meiner Rechnung grade rausbekommen, dass die Maximal-zulässige Hexen-Geschwindikeit
x(s) = [-z + sqrt(z²-4y²(1+pi²) ) ] / 2y
ist mit
z = 2s + 2 sin(4s) und
y = 1 + 2s sin(4s) + s²

Da nun das Extremum bzgl s zu bilden war mir dann zu aufwendig (und ich hab Flüchtigkeitsfehler noch nicht ausgeschlossen^^)
Ich werd bei gelegenheit mal Leute fragen, die sich in Sachen Variations-Rechnung besser auskennen, als ich das tue und mich dann melden